Matematický pocit: Výzkumníci vyřeší 50 let starou hádanku!

Matematický pocit: Výzkumníci vyřeší 50 let starou hádanku!

Dne 16. července 2025 byla udělena cena „Frontiers of Science Award“ v oblasti algebraické teorie čísel profesorům Johannesu Sprangovi z Univerzity Duisburg-Essen a Guido Kingsovi z Univerzity v Regensburgu. Cena v hodnotě 25 000 $ se uděluje od roku 2023 jako součást Mezinárodního kongresu základních věd (ICBS) a oceňuje průlomovou práci těchto dvou matematiků.

Důvodem vyznamenání je její pozoruhodný úspěch při řešení matematického rébusu, který zůstával nevyřešen téměř 50 let. Sprang a Kings dokázali ústřední domněnku teorie čísel, kterou poprvé zformuloval Nicholas Katz v roce 1977. Tato domněnka popisuje spojení mezi kritickými hodnotami Hecke L funkcí a periodami abelovských variet s komplexním násobením.

Nově vyvinuté přístupy v teorii čísel

Výsledky této práce nazvané „Eisenstein-Kroneckerovy třídy, integrita kritických hodnot Heckeho L-funkcí a p-adická interpolace“ budou publikovány v Annals of Mathematics v roce 2025. Sprang výsledky prezentoval na kongresu v Pekingu.

Než Sprang a Kings předložili svůj úplný důkaz, byly v 70. a 80. letech prokázány některé zvláštní případy dohadů, ale celkový důkaz chyběl. Rozhodující roli v jejich průlomu sehrál nově vyvinutý přístup, třídy Eisenstein-Kronecker. To by mohlo nejen otevřít nové perspektivy v teorii čísel, ale také objasnit algebraicitu a $p$-adic interpolaci v otevřených případech kritických hodnot funkcí Hecke L.

Ve své studii se oba výzkumníci také zabývají kritickými $L$ hodnotami algebraických Heckeho znaků ve zcela komplexním číselném poli $L$. Ukazují, že kritické hodnoty $L$ jsou algebraická celá čísla dělená určitými obdobími. Nová konstrukce, kterou vyvinuli, rozšiřuje předchozí výsledky pro pole CM od významných matematiků, jako jsou Damerell, Shimura a Katz.

Vliv na matematiku

Výsledkem jejich práce je také konstrukce $p$-adic míry, která interpoluje kritické $L$ hodnoty v běžném případě. Tato práce může mít dalekosáhlé důsledky pro algebraickou teorii čísel a vyžaduje pevný základ, který je již obsažen v přednáškách o algebraických číselných polích.

Příkladem takové akademické debaty je přednáška Otty Forstera na LMU v Mnichově v letním semestru 2014. Tato přednáška se týkala témat jako Minkowského teorie mřížových bodů, konečný počet tříd a Dedekindovy kruhy, které všechny souvisí s teoriemi Spranga a Kings.

Na matematické průlomy Spranga a Kingse lze tedy pohlížet nejen jako na milník v algebraické teorii čísel, ale také poskytnout cennou inspiraci pro budoucí výzkum.