Matematisk fornemmelse: Forskere løser 50 år gammelt puslespil!

Matematisk fornemmelse: Forskere løser 50 år gammelt puslespil!

Den 16. juli 2025 blev "Frontiers of Science Award" inden for algebraisk talteori tildelt professorerne Johannes Sprang fra University of Duisburg-Essen og Guido Kings fra University of Regensburg. Prisen på $25.000 er blevet uddelt siden 2023 som en del af International Congress for Basic Science (ICBS) og hædrer disse to matematikeres banebrydende arbejde.

Årsagen til hæderen er hendes bemærkelsesværdige succes med at løse et matematisk puslespil, der havde været uløst i næsten 50 år. Sprang og Kings beviste en central formodning inden for talteori, først formuleret af Nicholas Katz i 1977. Denne formodning beskriver sammenhængen mellem de kritiske værdier af Hecke L-funktioner og perioderne for Abelske varianter med kompleks multiplikation.

Nyudviklede tilgange i talteori

Resultaterne af dette arbejde, med titlen "Eisenstein-Kronecker-klasser, integralitet af kritiske værdier af Hecke L-funktioner og p-adisk interpolation," vil blive offentliggjort i Annals of Mathematics i 2025. Sprang præsenterede resultaterne under kongressen i Beijing.

Før Sprang og Kings fremlagde deres fuldstændige bevis, blev nogle specielle tilfælde af formodningen bevist i 1970'erne og 1980'erne, men overordnet bevis manglede. En nyudviklet tilgang, Eisenstein-Kronecker klasserne, spillede en afgørende rolle i deres gennembrud. Dette kunne ikke kun åbne nye perspektiver inden for talteori, men også afklare algebraicitet og $p$-adisk interpolation i åbne tilfælde af kritiske værdier af Hecke L-funktioner.

I deres undersøgelse beskæftiger de to forskere sig også med kritiske $L$-værdier af algebraiske Hecke-tegn i et totalt komplekst talfelt $L$. De viser, at kritiske $L$-værdier er algebraiske heltal, når de divideres med bestemte perioder. En ny konstruktion, de udviklede, udvider tidligere resultater for CM-felter af fremtrædende matematikere som Damerell, Shimura og Katz.

Indvirkning på matematik

Resultatet af deres arbejde inkluderer også konstruktionen af ​​et $p$-adisk mål, der interpolerer de kritiske $L$-værdier i det almindelige tilfælde. Dette arbejde kan have vidtrækkende konsekvenser for algebraisk talteori og kræver et solidt grundlag, som allerede er gennemgået i forelæsninger om algebraiske talfelter.

Et eksempel på en sådan akademisk debat er Otto Forsters foredrag på LMU München i sommersemesteret 2014. Dette foredrag dækkede emner som Minkowskis gitterpunktteori, det endelige antal klasser og Dedekind-ringe, som alle er relateret til teorierne om Sprang og Kings.

Sprang og Kings' matematiske gennembrud kan derfor ikke kun ses som en milepæl i algebraisk talteori, men også give værdifuld inspiration til fremtidig forskning.