Sensation mathématique : des chercheurs résolvent une énigme vieille de 50 ans !

Sensation mathématique : des chercheurs résolvent une énigme vieille de 50 ans !

Le 16 juillet 2025, le « Frontiers of Science Award » dans le domaine de la théorie algébrique des nombres a été décerné aux professeurs Johannes Sprang de l'Université de Duisburg-Essen et Guido Kings de l'Université de Ratisbonne. Le prix, d'une valeur de 25 000 $, est décerné depuis 2023 dans le cadre du Congrès international des sciences fondamentales (ICBS) et honore les travaux novateurs de ces deux mathématiciens.

La raison de cet honneur est son succès remarquable dans la résolution d’un casse-tête mathématique resté irrésolu pendant près de 50 ans. Sprang et Kings ont prouvé une conjecture centrale de la théorie des nombres, formulée pour la première fois par Nicholas Katz en 1977. Cette conjecture décrit le lien entre les valeurs critiques des fonctions Hecke L et les périodes des variétés abéliennes à multiplication complexe.

Approches nouvellement développées en théorie des nombres

Les résultats de ces travaux, intitulés « Classes d'Eisenstein-Kronecker, intégralité des valeurs critiques des fonctions L de Hecke et interpolation p-adique », seront publiés dans les Annals of Mathematics en 2025. Sprang a présenté les résultats lors du congrès de Pékin.

Avant que Sprang et Kings ne présentent leur preuve complète, certains cas particuliers de la conjecture ont été prouvés dans les années 1970 et 1980, mais la preuve globale manquait. Une approche nouvellement développée, les classes Eisenstein-Kronecker, a joué un rôle décisif dans leur percée. Cela pourrait non seulement ouvrir de nouvelles perspectives en théorie des nombres, mais aussi clarifier l'algébricité et l'interpolation $p$-adique dans les cas ouverts de valeurs critiques des fonctions de Hecke L.

Dans leur étude, les deux chercheurs traitent également des valeurs $L$ critiques des caractères algébriques de Hecke dans un champ numérique $L$ totalement complexe. Ils montrent que les valeurs critiques de $L$ sont des entiers algébriques lorsqu'elles sont divisées par certaines périodes. Une nouvelle construction qu'ils ont développée étend les résultats antérieurs pour les champs CM réalisés par d'éminents mathématiciens tels que Damerell, Shimura et Katz.

Impact sur les mathématiques

Le résultat de leurs travaux comprend également la construction d'une mesure $p$-adique qui interpole les valeurs critiques de $L$ dans le cas ordinaire. Ce travail peut avoir des conséquences considérables pour la théorie algébrique des nombres et nécessite une base solide, déjà abordée dans les cours sur les champs algébriques des nombres.

Un exemple d'un tel débat académique est la conférence d'Otto Forster au LMU Munich au semestre d'été 2014. Cette conférence couvrait des sujets tels que la théorie des points de réseau de Minkowski, le nombre fini de classes et les anneaux de Dedekind, qui sont tous liés aux théories de Sprang et de Kings.

Les avancées mathématiques de Sprang et Kings peuvent donc non seulement être considérées comme une étape importante dans la théorie algébrique des nombres, mais aussi constituer une source d’inspiration précieuse pour les recherches futures.