Matematinis pojūtis: tyrėjai išsprendžia 50 metų senumo galvosūkį!

Matematinis pojūtis: tyrėjai išsprendžia 50 metų senumo galvosūkį!

2025 m. liepos 16 d. „Mokslo sienų apdovanojimas“ algebrinių skaičių teorijos srityje buvo įteiktas profesoriams Johannesui Sprangui iš Duisburgo-Eseno universiteto ir Guido Kingsui iš Regensburgo universiteto. 25 000 USD vertės premija teikiama nuo 2023 m. kaip Tarptautinio pagrindinių mokslų kongreso (ICBS) dalis ir pagerbia novatorišką šių dviejų matematikų darbą.

Garbės priežastis – jos nepaprasta sėkmė sprendžiant matematinį galvosūkį, kuris buvo neišspręstas beveik 50 metų. Sprangas ir Kingsas įrodė pagrindinį skaičių teorijos spėjimą, kurį pirmą kartą suformulavo Nicholas Katz 1977 m. Šis spėjimas apibūdina ryšį tarp kritinių Hecke L funkcijų reikšmių ir Abelio veislių su sudėtingu daugyba laikotarpiais.

Naujai sukurti skaičių teorijos metodai

Šio darbo, pavadinto „Eisenstein-Kronecker klasės, Hecke L-funkcijų kritinių verčių integralumas ir p-adinė interpoliacija“, rezultatai bus paskelbti 2025 m. „Annals of Mathematics“. Sprang pristatė rezultatus per kongresą Pekine.

Prieš tai, kai Sprangas ir Kingsas pateikė pilną įrodymą, aštuntajame ir devintajame dešimtmečiuose buvo įrodyta keletas specialių spėjimo atvejų, tačiau trūko bendro įrodymų. Naujai sukurtas metodas – Eisenstein-Kronecker klasės – suvaidino lemiamą vaidmenį jų proveržyje. Tai galėtų ne tik atverti naujas skaičių teorijos perspektyvas, bet ir paaiškinti algebriškumą ir $p$-adic interpoliaciją atvirais Hecke L funkcijų kritinių verčių atvejais.

Savo tyrime du mokslininkai taip pat nagrinėja kritines algebrinių Hecke simbolių $L$ vertes visiškai sudėtingame skaičių lauke $L$. Jie rodo, kad kritinės $L$ vertės yra algebriniai sveikieji skaičiai, padalyti iš tam tikrų laikotarpių. Jų sukurta nauja konstrukcija praplečia ankstesnius žinomų matematikų, tokių kaip Damerell, Shimura ir Katz, rezultatus CM srityse.

Poveikis matematikai

Jų darbo rezultatas taip pat apima $p$-adic matą, kuris įprastu atveju interpoliuoja kritines $L$ reikšmes. Šis darbas gali turėti toli siekiančių pasekmių algebrinių skaičių teorijai ir reikalauja tvirto pagrindo, apie kurį jau kalbama paskaitose apie algebrinių skaičių laukus.

Tokių akademinių debatų pavyzdys – Otto Forsterio paskaita LMU Miunchene 2014 m. vasaros semestrą. Šioje paskaitoje buvo nagrinėjamos tokios temos kaip Minkovskio gardelės taško teorija, baigtinis klasių skaičius ir Dedekindo žiedai, kurios visos susijusios su Sprango ir Kingso teorijomis.

Todėl Sprango ir Kingso matematinius laimėjimus galima ne tik vertinti kaip etapą algebrinėje skaičių teorijoje, bet ir vertingu įkvėpimu būsimiems tyrimams.