Wiskundige sensatie: onderzoekers lossen 50 jaar oude puzzel op!

Wiskundige sensatie: onderzoekers lossen 50 jaar oude puzzel op!

Op 16 juli 2025 werd de “Frontiers of Science Award” op het gebied van de algebraïsche getaltheorie toegekend aan de professoren Johannes Sprang van de Universiteit van Duisburg-Essen en Guido Kings van de Universiteit van Regensburg. De prijs, ter waarde van $25.000, wordt sinds 2023 uitgereikt als onderdeel van het International Congress for Basic Science (ICBS) en eert het baanbrekende werk van deze twee wiskundigen.

De reden voor de eer is haar opmerkelijke succes bij het oplossen van een wiskundige puzzel die al bijna 50 jaar onopgelost bleef. Sprang en Kings bewezen een centraal vermoeden van de getaltheorie, voor het eerst geformuleerd door Nicholas Katz in 1977. Dit vermoeden beschrijft het verband tussen de kritische waarden van Hecke L-functies en de perioden van Abelse variëteiten met complexe vermenigvuldiging.

Nieuw ontwikkelde benaderingen in de getaltheorie

De resultaten van dit werk, getiteld ‘Eisenstein-Kronecker klassen, integraliteit van kritische waarden van Hecke L-functies en p-adische interpolatie’, zullen in 2025 worden gepubliceerd in de Annals of Mathematics. Sprang presenteerde de resultaten tijdens het congres in Peking.

Voordat Sprang en Kings hun volledige bewijs presenteerden, werden in de jaren zeventig en tachtig enkele speciale gevallen van het vermoeden bewezen, maar het algemene bewijs ontbrak. Een nieuw ontwikkelde aanpak, de Eisenstein-Kronecker-klassen, speelde een beslissende rol in hun doorbraak. Dit zou niet alleen nieuwe perspectieven in de getaltheorie kunnen openen, maar ook de algebraiciteit en $p$-adische interpolatie in open gevallen van kritische waarden van Hecke L-functies kunnen verduidelijken.

In hun onderzoek houden de twee onderzoekers zich ook bezig met kritische $L$-waarden van algebraïsche Hecke-tekens in een totaal complex getalveld $L$. Ze laten zien dat kritische $L$-waarden algebraïsche gehele getallen zijn wanneer ze door bepaalde perioden worden gedeeld. Een nieuwe constructie die ze ontwikkelden, breidt eerdere resultaten uit voor CM-velden van vooraanstaande wiskundigen als Damerell, Shimura en Katz.

Impact op de wiskunde

Het resultaat van hun werk omvat ook de constructie van een $p$-adische maatstaf die de kritische $L$-waarden in het gewone geval interpoleert. Dit werk kan verstrekkende gevolgen hebben voor de algebraïsche getaltheorie en vereist een solide basis, die al aan bod komt in colleges over algebraïsche getalvelden.

Een voorbeeld van een dergelijk academisch debat is de lezing van Otto Forster aan de LMU München in het zomersemester van 2014. Deze lezing behandelde onderwerpen als Minkowski's roosterpunttheorie, het eindige aantal klassen en Dedekind-ringen, die allemaal verband houden met de theorieën van Sprang en Kings.

De wiskundige doorbraken van Sprang en Kings kunnen daarom niet alleen worden gezien als een mijlpaal in de algebraïsche getaltheorie, maar bieden ook waardevolle inspiratie voor toekomstig onderzoek.