Sensação matemática: pesquisadores resolvem quebra-cabeça de 50 anos!

Sensação matemática: pesquisadores resolvem quebra-cabeça de 50 anos!

Em 16 de julho de 2025, o “Prêmio Fronteiras da Ciência” na área de teoria algébrica dos números foi concedido aos professores Johannes Sprang da Universidade de Duisburg-Essen e Guido Kings da Universidade de Regensburg. O prêmio, no valor de US$ 25 mil, é concedido desde 2023 como parte do Congresso Internacional de Ciências Básicas (ICBS) e homenageia o trabalho inovador desses dois matemáticos.

O motivo da homenagem é seu notável sucesso na resolução de um quebra-cabeça matemático que permaneceu sem solução por quase 50 anos. Sprang e Kings provaram uma conjectura central da teoria dos números, formulada pela primeira vez por Nicholas Katz em 1977. Esta conjectura descreve a conexão entre os valores críticos das funções Hecke L e os períodos das variedades abelianas com multiplicação complexa.

Abordagens recentemente desenvolvidas na teoria dos números

Os resultados deste trabalho, intitulado “Classes de Eisenstein-Kronecker, integralidade dos valores críticos das funções L de Hecke e interpolação p-ádica”, serão publicados nos Anais da Matemática em 2025. Sprang apresentou os resultados durante o congresso em Pequim.

Antes de Sprang e Kings apresentarem a sua prova completa, alguns casos especiais da conjectura foram provados nas décadas de 1970 e 1980, mas faltava uma prova geral. Uma abordagem recentemente desenvolvida, as classes Eisenstein-Kronecker, desempenhou um papel decisivo no seu avanço. Isso poderia não apenas abrir novas perspectivas na teoria dos números, mas também esclarecer a algebricidade e a interpolação $p$-ádica em casos abertos de valores críticos de funções L de Hecke.

Em seu estudo, os dois pesquisadores também lidam com valores críticos $L$ de caracteres algébricos de Hecke em um campo numérico totalmente complexo $L$. Eles mostram que os valores críticos de $L$ são inteiros algébricos quando divididos por determinados períodos. Uma nova construção que desenvolveram amplia resultados anteriores para campos de CM de matemáticos eminentes como Damerell, Shimura e Katz.

Impacto na matemática

O resultado de seu trabalho também inclui a construção de uma medida $p$-ádica que interpola os valores críticos de $L$ no caso comum. Este trabalho pode ter consequências de longo alcance para a teoria algébrica dos números e requer uma base sólida, que já é abordada em palestras sobre campos de números algébricos.

Um exemplo de tal debate acadêmico é a palestra de Otto Forster na LMU Munique no semestre de verão de 2014. Esta palestra abordou tópicos como a teoria da rede de pontos de Minkowski, o número finito de classes e anéis de Dedekind, todos relacionados às teorias de Sprang e Kings.

Os avanços matemáticos de Sprang e Kings podem, portanto, não apenas ser vistos como um marco na teoria algébrica dos números, mas também fornecer inspiração valiosa para pesquisas futuras.