Matematický pocit: Výskumníci vyriešili 50-ročnú hádanku!

Matematický pocit: Výskumníci vyriešili 50-ročnú hádanku!

Dňa 16. júla 2025 bola udelená cena „Frontiers of Science Award“ v oblasti algebraickej teórie čísel profesorom Johannesovi Sprangovi z Univerzity Duisburg-Essen a Guidovi Kingsovi z Univerzity v Regensburgu. Cena v hodnote 25 000 dolárov sa udeľuje od roku 2023 ako súčasť Medzinárodného kongresu základných vied (ICBS) a oceňuje prelomovú prácu týchto dvoch matematikov.

Dôvodom tejto pocty je jej pozoruhodný úspech pri riešení matematickej hádanky, ktorá zostala nevyriešená takmer 50 rokov. Sprang a Kings dokázali ústrednú hypotézu teórie čísel, ktorú prvýkrát sformuloval Nicholas Katz v roku 1977. Táto hypotéza opisuje spojenie medzi kritickými hodnotami Heckeho L funkcií a obdobiami abelovských odrôd s komplexným násobením.

Novo vyvinuté prístupy v teórii čísel

Výsledky tejto práce s názvom „Eisenstein-Kroneckerove triedy, integrita kritických hodnôt Heckeho L-funkcií a p-adická interpolácia“ budú publikované v Annals of Mathematics v roku 2025. Sprang výsledky prezentoval počas kongresu v Pekingu.

Predtým, ako Sprang a Kings predložili svoj úplný dôkaz, v 70. a 80. rokoch sa preukázalo niekoľko špeciálnych prípadov dohadov, ale celkový dôkaz chýbal. Rozhodujúcu úlohu pri ich prelomení zohral novovyvinutý prístup, triedy Eisenstein-Kronecker. To by mohlo nielen otvoriť nové perspektívy v teórii čísel, ale aj objasniť algebraicitu a $p$-adic interpoláciu v otvorených prípadoch kritických hodnôt Hecke L funkcií.

Vo svojej štúdii sa títo dvaja výskumníci zaoberajú aj kritickými hodnotami $L$ algebraických Heckeho znakov v úplne komplexnom číselnom poli $L$. Ukazujú, že kritické hodnoty $L$ sú algebraické celé čísla, ak sú rozdelené určitými obdobiami. Nová konštrukcia, ktorú vyvinuli, rozširuje predchádzajúce výsledky pre polia CM od významných matematikov ako Damerell, Shimura a Katz.

Vplyv na matematiku

Výsledkom ich práce je aj konštrukcia $p$-adic miery, ktorá interpoluje kritické $L$ hodnoty v bežnom prípade. Táto práca môže mať ďalekosiahle dôsledky pre algebraickú teóriu čísel a vyžaduje si solídny základ, ktorým sa už zaoberajú prednášky o algebraických číselných poliach.

Príkladom takejto akademickej debaty je prednáška Otta Forstera na LMU v Mníchove v letnom semestri 2014. Táto prednáška zahŕňala témy ako Minkowského teória bodov mriežky, konečný počet tried a Dedekindove prstence, ktoré všetky súvisia s teóriami Spranga a Kings.

Matematické objavy Spranga a Kingsa preto nemožno považovať len za míľnik v algebraickej teórii čísel, ale tiež poskytujú cennú inšpiráciu pre budúci výskum.