Matematična senzacija: Raziskovalci rešili 50 let staro uganko!

Matematična senzacija: Raziskovalci rešili 50 let staro uganko!

16. julija 2025 je bila nagrada »Frontiers of Science Award« na področju teorije algebrskih števil podeljena profesorjema Johannesu Sprangu z Univerze Duisburg-Essen in Guidu Kingsu z Univerze Regensburg. Nagrado, vredno 25.000 $, podeljujejo od leta 2023 v okviru Mednarodnega kongresa za temeljno znanost (ICBS) in počastijo prelomno delo teh dveh matematikov.

Razlog za to čast je njen izjemen uspeh pri reševanju matematične uganke, ki je ostala nerešena skoraj 50 let. Sprang in Kings sta dokazala osrednjo domnevo teorije števil, ki jo je prvi oblikoval Nicholas Katz leta 1977. Ta domneva opisuje povezavo med kritičnimi vrednostmi funkcij Hecke L in obdobji Abelovih varietet s kompleksnim množenjem.

Novo razviti pristopi v teoriji števil

Rezultati tega dela z naslovom »Eisenstein-Kroneckerjevi razredi, integralnost kritičnih vrednosti Heckejevih L-funkcij in p-adična interpolacija« bodo objavljeni v Annals of Mathematics leta 2025. Sprang je rezultate predstavil med kongresom v Pekingu.

Preden sta Sprang in Kings predstavila svoj popoln dokaz, so bili nekateri posebni primeri domneve dokazani v 1970-ih in 1980-ih letih, vendar splošni dokazi manjkajo. Novo razviti pristop, Eisenstein-Kroneckerjevi razredi, je imel odločilno vlogo pri njihovem preboju. To ne bi moglo le odpreti novih perspektiv v teoriji števil, ampak tudi razjasniti algebraičnost in $p$-adično interpolacijo v odprtih primerih kritičnih vrednosti Hecke L funkcij.

Raziskovalca se v svoji študiji ukvarjata tudi s kritičnimi $L$ vrednostmi algebraičnih Heckejevih znakov v popolnoma kompleksnem številskem polju $L$. Kažejo, da so kritične vrednosti $L$ algebraična cela števila, če jih delimo z določenimi obdobji. Nova konstrukcija, ki so jo razvili, razširja prejšnje rezultate za polja CM uglednih matematikov, kot so Damerell, Shimura in Katz.

Vpliv na matematiko

Rezultat njihovega dela vključuje tudi konstrukcijo $p$-adične mere, ki interpolira kritične vrednosti $L$ v običajnem primeru. To delo ima lahko daljnosežne posledice za algebrsko teorijo števil in zahteva trdno osnovo, ki je že zajeta v predavanjih o algebrskih številskih poljih.

Primer takšne akademske razprave je predavanje Otta Forsterja na LMU München v poletnem semestru 2014. To predavanje je pokrivalo teme, kot so teorija mrežnih točk Minkowskega, končno število razredov in Dedekindovi obroči, ki so vse povezane s teorijama Spranga in Kingsa.

Na matematične dosežke Spranga in Kingsa torej ne moremo gledati samo kot na mejnik v algebrski teoriji števil, temveč tudi kot dragocen navdih za prihodnje raziskave.